Continuous WT with Discrete Coefficient

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Template:Notmandarin Template:Unencyclopedic Definition: The parameters a and b are not chosen arbitrarily. For example:

$a=n2^{-m}$ and  $b=2^{-m}$,利用等比可看出訊號的倍頻比值,其中$-\infty <n,m<\infty$,  $m,n\in z$
$X_{w}(n,m)=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi (2^{m}t-n)dt$此公式由連續小波的公式帶入a和b推導出來。

inverse wavelet transform

$x(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }2^{m/2}\psi _{1}(2^{m}t-n)X_{w}(n,m)$,其中$\psi _{1}(t)$ is the dual function of $\psi (t)$

dual function: $\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }2^{m}\psi _{1}(2^{m}t-n)\psi (2^{m}t_{1}-n)=\delta (t-t_{1})$ 轉換成連續的部分: $\int _{-\infty }^{\infty }2^{m}\psi _{1}(2^{m_{1}}t-n_{1})\psi (2^{m}t_{1}-n)dt=\delta (m-m_{1})\delta (n-n_{1})$從此可看出因為這個條件使式子變成"正交" 正交就可以利用其特性反推原本的x(t):$Ax=b,A^{T}A=I$ 則可推導 $x=A^{T}b$

而我們常常希望式子能滿足$\psi _{1}(t)=\psi (t)$ 則式子可以修改為$x(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }2^{m/2}\psi (2^{m}t-n)X_{w}(n,m)$ 轉換成連續(mother wavelet)的部分:$\int _{-\infty }^{\infty }2^{m}\psi (2^{m_{1}}t-n_{1})\psi (2^{m}t_{1}-n)dt=\delta (m-m_{1})\delta (n-n_{1})$